Von Neumann cebirlerinde geometrik sorular

Abstract

Von Neumann cebirlerinde Geometrik sorular projesinin amacı, von Neumann cebirlerindeki operatörlerin geometrik ve spektral özellikler arasındaki ilişkiyi araştırmaktadır. (Sonlu boyutlu) matris cebirlerinde spektral bilgi Hermitsel operatörlerin üniter denklik sınıfını belirliyor ama sonsuz boyutlarda üniter denklik sınıfı belirlemek için spektral bilgi yetersizdir. Hermitsel operatörlerin köşegenlerini sınıflandırmak ve genel operatörlerin sayısal görüntüsünü (numerical range) belirlemek matris cebirlerinde iyice anlaşılmış sorulardır ama genel von Neumann cebirlerinde henüz iyice anlaşılmış değildir. Bizim çalışmanın ilk amacı operatör kümelerinin sonlu boyutlu alt-cebirlerinin üzerindeki izdüşümünü ve operatörlerin sayısal görüntüsünü anlamaktır. Bu sorular üzerinde genelleşmiş \\emph{Majorization} kavramını kullanarak ilerlemeler kaydettik. İkinci amacımız, özdeğer eşitsizliklerini sağlayan operatörlerin geometrisini anlamaktır. Bu sorunun beklediğimizden daha zor olduğunu farkettik. Yine de, bir alt soru (\\emph{Fan-Pall} sorusu) üzerinde ilerleme kaydedebildik : Fan-Pall sorusu Hermitsel operatörlerin olası kısıtlamalarının (compressions) karakterizasyonunu sormaktadır. Üçüncü amacımız ise izsel von Neumann cebirlerinde komutatörlerin karakterizasyonunu bulmak ve bununla yakından alakalı Kadison-Singer sorusunun yeni bir ispatını vermektir. Biz Kadison-Singer sorusu üzerinde önemli ilerlemeler kaydedebildik. Özellikle birden fazla matrisin ortak \\emph{paving}inin bulunabileceğini ispatladık. Bizim çalışmalarda von Neumann cebirsel yöntemleri kullanamadık ama bu soruyu von Neumann cebirleri üzerinde düşnmek yeni bir kombinatorik ve analitik yaklaşıma yol açtı. Komütatör sorusu üzerinde bu yaklaşımı kullanarak ilerleme kaydedebildik.