Genelleştirilmiş Lane-Emden denkleminin noether simetri yöntemiyle iki kere indirgemesi ve lie simetrisi

Abstract

Bu tez çalışmasında genel amaç, Lie ve Noether simetri yöntemlerinin adi diferansiyel denklemlere uygulanarak mertebelerinin indirgemesini ve çözümlerini incelemektir. Birinci bölümde, Lie ve Noether simetrileri hakkında bilgiler verilerek literatürde lineer olmayan diferansiyel denklemlerin çözümü için geliştirilen metotlardan bazıları ifade edilip genişletilmiş Lane-Emden diferansiyel denkleminin farklı formlarının çözümleri için çalışılmış bazı yöntemlere değinilmiştir. Sonraki alt bölümlerde Noether teoreminin oluşmasında önemi olan fonksiyonel kavramı, varyasyonel hesabın temel lemması ve varyasyonel notasyondan temel bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde, fonksiyonel problemi birçok değişkene genelleştirerek varyasyonel hesaptan elde edilen ünlü Euler-Lagrange denklemi türetilmiştir. Bununla beraber örnek olarak bir fonksiyonelin ekstramelleri elde edilmiştir. Fizikte önemli bir yeri olan en az eylem ilkesinin bir örneği olan Hamilton prensibi tanıtılıp Euler-Lagrange denklemleri ile ilişkisi verilmiş ve bölümün son kısmında birden fazla bağımsız ve bağımlı değişken için Euler-Lagrange denklemi tanıtılmıştır. Üçüncü bölümde, Noether simetri yöntemi için önemi olan Euler-Lagrange operatörü, toplamsal tanımı ve bununla ilgili teorem ve lemmalar kanıtlarıyla verilerek örnekler çözülmüştür, Dördüncü bölümde, Lie simetri dönüşümleri ve grupları, sonsuz küçük dönüşümler, Lie'nin birinci temel teoremi ifade edilerek sonsuz küçük üreteçler tanımlanmış ve örnekler verilmiştir. İnvaryant fonksiyonlar, tanım ve teorem şeklinde sunularak bunlar yardımıyla kanonik koordinatlar tanıtılmıştır. Örneklerle bazı dönüşüm grupları için simetri üreteci bulunarak kanonik koordinatlar elde edilmiştir. Genişletilmiş Lie grupları ve sonsuz küçükler hakkında geniş bilgiler sunularak eğriler, yüzeyler ve noktaların invaryantlığı tanımlanmıştır. Bölümün son kısmında çok parametreli dönüşümler ve Lie cebri tanımı verilmiştir. Beşinci bölümde, birinci ve daha fazla mertebeden adi diferansiyel denklemlerin invaryantlık şartı açıklanarak bazı simetri gruplarının invaryant bıraktığı denklemlerin genel formları örneklerle elde edilmiştir. Lie simetri yöntemi, bazı diferansiyel denklemlere uygulanarak çözümleri bulunmuş ve analiz edilmiştir. Altıncı bölümde, diferansiyel denklemlerin mertebesinin indirgemesi ve çözümleri için ilk integrallerinin belirlenmesinde önemli yeri olan bir başka simetri yöntemi, Noether simetri yaklaşımıyla ilgili tanım ve teoremler verilmiş ve literatürde üzerinde çalışılan genelleştirilmiş Lane-Emden denkleminin ayrıntılı şekilde hesaplar yapılarak ilk integralleri elde edilip çözümleri incelenmiştir. Yedinci ve son bölümde, tez içeriği hakkında son değerlendirmeler yapılmış ve okuyucuya önerilerde bulunulmuştur.