Lie ve Noether simetrileri ile adi diferansiyel denklemlerin çözümleri

Abstract

Bu tezde Lie ve Noether simetrileri ile adi diferansiyel denklemlerin çözümleri üzerinde durulmuştur. Diferansiyel denklemler birçok teknolojik problemin yanı sıra doğanın temel yasalarının çoğunun formüle edilmesinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Bazen denklemlerin analitik çözümünü elde etmek için geleneksel ve probleme özgü metotlar kullanıldığında denklemleri integre etmek mümkündür. Çoğu zaman bu denklemleri integre etmek mümkün değildir. Literatürde dört yüzden fazla integrallenebilir adi diferansiyel denklem bulunur ve bunların her biri kendilerine özgü çözüm yöntemlerine sahiptir. Lie grup analizi, tüm bu adi diferansiyel denklemleri dört farklı tipe indirgeyerek, çok daha genel bir çözüm yöntemi sağlamakta ve dolayısıyla Lie teorisi diferansiyel denklemlerin çözümünün elde edilmesinde çok önemli bir araç olarak karşımıza çıkmaktadır. Diferansiyel denklemlerin analizinde önemli rol oynayan bir diğer araç ise Noether simetri yöntemidir. Bu yöntem için birinci ve ikinci mertebeden Lagrangianlara karşılık gelen Noether teoremi ve ilk integraller verilmiştir. İlk integralleri elde etmek için diferansiyel denklemlerin simetrileri kullanılmaktadır. Bu tezde birinci ve ikinci mertebeden Lagrangianlara karşılık gelen ilk integralleri elde etmek için Noether teoremi kullanılmıştır. Noether, diferansiyel denklemler için varyasyon ilkesinden elde edilen, her simetri üretecine karşılık gelen bir ilk integralin bulunduğunu kanıtlamıştır. Bu simetrilere Noether simetri üreteci adı verilir ve eğer Noether simetri üreteci mevcut ise Noether teoremi her simetri üretecine karşılık gelen ilk integralleri kolaylıkla sağlamaktadır. Lie teorisi ve Noether teoremi, bir sistemin simetrilerini belirlemeyi ve ardından sabitlerinin karşılık gelen değişmezlerini bulmayı içermektedir. Lie teorisi söz konusu olduğunda diferansiyel denklem değişmez bırakılırken, Noether teoremi Eylem İntegralini değişmez bırakmaktadır. Bunların elde edilmesi diferansiyel denklemlerin mertebesinde indirgeme sağlamasından dolayı denklemleri çözmek için kolaylık sağlamaktadır. Buna dayanarak, tez kapsamında Lie ve Noether simetri yöntemleri ile Emden-Fowler denklemi ve adi diferansiyel denklemlerin analizleri yapılmıştır ve elde edilenlerin verilen denklemin çözümünü elde etmek için nasıl kullanılabileceği açıklayıcı bir şekilde çeşitli örnekler üzerinde gösterilmiştir. Böylece kendine özgü yapısı sebebiyle bilinen yöntemlerle çözülemeyen bazı lineer olmayan denklemler için Lie ve Noether simetri yöntemleri ile çözümün nasıl getirilebileceği tartışılmıştır.