Polya’ nın sayma teoremi’ ne uygulamalar

Abstract

Pòlya’nın Sayma Formülü, birçok problemi çözmede etkili olacak önemli bir formüldür. Bir diğer önemli yanı da matematiksel olarak Grup Teori ve Üreteç Fonksiyonlar’ı birleştiren güçlü bir formül olmasıdır. Birinci bölümde konumuzla bağlantısı olan üreteç fonksiyonlar hakkında bilgi vereceğiz. Ayrıca yine bu bölümde, tezde değinilen denklik bağıntısı ve grup teorinin matematikte ne ifade ettiğini kısaca anlatacağız. Daha sonra denklik ve simetri gruplarını ifade ederek yönlendirilmiş veya yönlendirilmemiş bir cismin köşelerinin, kenarlarının veya yüzeylerinin m (m = 1,2,3,... gibi) farklı renkle boyamalarını inceleyeceğiz ve buna ait birkaç örnek vereceğiz. Yapacağımız hesaplamalar veya formüller bu m renkle birbirine denk olmayan kaç boyamanın olduğuna yöneliktir. Buradaki denklikten kastımız; şekle ait köşelerin (kenarların veya yüzeylerin) şekle uygulanan simetriler [rotasyonlar (dönmeler), yansımalar veya herhangi bir eksen etrafındaki dönmeler] sonucunda yer değiştirdiği köşe ile (kenarla, yüzeyle) aynı renkte olmasıdır. Örneğin bir şekle uygulanan köşesini b köşesine götürüyorsa, ilk şekille i Π rotasyonu (dönmesi), şeklin a i Π rotasyonu sonucunda elde edilen şeklin birbirine denk (boyama anlamında) olması için a ile b’nin (ve birbiri ile yer değişen diğer tüm köşelerin) aynı renkte olması gerekir. İkinci bölümde Burnside Teoremi ve Pòlya’nın Sayma Formülü’ne ilişkin teorem, ispatı ile birlikte verilmiştir. Burnside Teoremi; şekle uygulanan simetriler sonucunda oluşan, birbirine denk olmayan boyamaların sayısını bulmak için yardımcı olacak bir teoremdir. Burnside Teoremi, bu konudaki basit problemlere çözüm ararken etkilidir. Daha karmaşık şekiller için; örneğin bir küpün köşelerinin boyanması gibi problemler için kullanılması güçlük çıkaracağından bu tür karmaşık problemlerde yine bu tezde ele alacağımız Pòlya’nın Formülü’nü kullanacağız. Pòlya’nın Formülü karmaşık problemler için, dönme indeksi (ki bu bir üreteç fonksiyon yapısındadır) yardımıyla denk olmayan boyamaların sayısının bulunmasında oldukça etkili ve sonuca çabuk götüren bir formüldür. Üçüncü ve son bölümde Pòlya’nın Sayma Formülü’nün kimyada izomerlere uygulanışı ele alınmıştır. Ayrıca bu konuda G. Pòlya’nın 1935’te yayınladığı makalesine de yer verilmiştir.